Braunstofer hat über Jahrzehnte als Novizenmeister und Prior gedient, bis er 1945 zum Abt von Heiligenkreuz gewählt wurde. Ebenso wurde er 1945 Abtpräses der Österreichischen Zisterzienserkongregation. Seine Amtszeit in Heiligenkreuz widmete er dem Wiederaufbau nach dem Krieg und der Vertiefung des monastischen Lebens. Er nahm als Konzilsvater am Zweiten Vatikanischen Konzil teil, trat am Fest Kreuzerhöhung (14. September) 1969 als Abt zurück und widmete sich der Ausgabe eines neuen (lateinischen) Zisterzienserbreviers gemäß der Liturgiereform des Zweiten Vatikanums. Er starb am 20. September 1978.
Braunstorfer gehört zu den prägenden Gestalten in der Geschichte des Stiftes Heiligenkreuz und ist einer der bedeutenden Zisterzienser des 20. Jahrhunderts. Im Frühling 2003 beschloss die Österreichische Bischofskonferenz, ein Seligsprechungsverfahren einzuleiten. Am 15. November 2008 hat Kardinal Schönborn das diözesane Seligsprechungsverfahren eröffnet.